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作者  kyod ( ) 站內  ALGEBRA
標題  [問題] 一個關於order的問題
時間  2009/11/10 Tue 14:01:02


G is an abelian group and a,bεG  s.t │a│= m,│b│= n

show G contains an element whose order is  [m,n]

(pf)

Case1:gcd(m,n)=1

∵(m,n)[m,n]=mn => [m,n]=(m,n)

Claim: mn is the order of ab , ie │ab│= mn

        mn   mn  mn     m n   n m             mn
pf. (ab)  = a   b   = (a )  (b )  = e  => (ab)  = e
                                                 mn
check: mn is the least positive integer s.t  (ab)  = e

                  k        k k
Suppose that  (ab) = e => a b = e

                           k    -k
                       => a  = b

                           k    -k
                      ∵  a  = b  ε <a>

                           k    -k
                          a  = b  ε <b>

                           k    -k
                      ∴  a  = b  ε <a>∩<b> = {e}

 ∴ [m,n] = mn is the order of ab with (a,b)=1
                                               #
Case2:gcd(m,n) = d

Let m= m'd
    n= n'd   , m',n'εZ , gcd(m',n')=1
                            d      d          d        m           m
Consider the cyclic group <a > , <b >  and │a │= ----------- = ----- = m'
                                                    gcd(m,d)       d

                                              d        n           n
                                           │b │= ----------- = ----- = n'
                                                    gcd(n,d)       d
      d              d m'
∴ │a │ = m'     (a )  = e  By  Case 1        d d
      d         =>   d n'     =============> │a b │ = m'n' ( ∵(m',n')=1)
   │b │ = n'     (b )  = e

        d m'n'
=> [(ab) ]    = e

       dm'n'
=> (ab)     = e
                                                     dm'n'
check: dm'n' is the least positive integer s.t  (ab)     =  e

卡關了XDDDDDDDDD


                                d         │a│
Case2的想法就是想利用 prop. │<a >│= --------------
                                       gcd(│a│,d )

然後讓ab的指數變成 dm'n'=[m,n] 再去check 最小

不過我在check最小時卡關了 = =

不知道有沒有人可以告訴我怎麼做呀~~~~~~囧rz

還是有別的更好做的方法?????

請各位大師指教

thanks~




★ kyod:今天的冰好吃嗎???
★ kyod  好吃好吃!!!(猛點頭中)
★ kyod:妳知道為什麼好吃嗎???
★ kyod  不知道耶!!!(笑笑地搖搖頭聳聳肩)
★ kyod:因為有我在呀!!....哈哈...
★ kyod  討厭啦....(害羞中)

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