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作者  george (...) 站內  ALGEBRA
標題  Re: [問題] field
時間  2009/07/25 Sat 11:44:12

※ 引述《krull (krull)》之銘言:
> ※ 引述《george (...)》之銘言:
> >  Every element in a finite field can be written as a sum of two squares.
> >  ( 一樣夢幣100萬 呵呵~ = =+ )
> F:= F_q : a finite field, q = p^n,  p : odd prime
> let a in F
> if a = 0, ok
> if a is a square, ok
> if a is not a square,
> exist b in F* s.t b is not a square but b-1 is a square
> (a result of basic number theory)
> b^(-1)*a is a square ( a step not very sure = =, if q=p is ok )
> => X^2 = b^(-1)*a for some X in F*
> => a = b*X^2 = X^2 + (b-1)*X^2 = X^2 + (c*X)^2 for some c in F*
> eg: p = 17
>     1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16
>    __ __    __          __ __              __      __  __  (底線為square)
> let b = 3 , b^(-1) = 6
>     3*X^2 = X^2 + 2*X^2 = X^2 + (6*X)^2 = 3 or 5 or 6 or 7 or 10 or 11 or 12
>                                           or 14
>  => X^2 = 1 or 13 or 2 or 8 or 9 or 15 or 4 or 16
>  =>   X = 1 or 8  or 6 or 5 or 3 or 7  or 2 or 4

  這個方法可以試試耶 ^^b 應該可以證出來喔...

  因為 F* 是一個循環群 同構某個 Zn

  數論上有討論 x^2=a (mod n) 的解一串的定理

  所以 Zp 是對的... 推廣到 Zn 我有點忘了呵呵...^^"

  兩個都不是square的數 乘起來會是square 在一般 Zn 是對的嗎?

  要查一下... ^^"


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發信站 [中央數學  織夢天堂 bbs.math.ncu.edu.tw]
  •FROM [george 從 125-233-8-204.dynamic.hinet.net 發表]
→ VaTin :應該只要知道 平方數剛好有 (p+1)/2 個                     09/07/25
→ george :Zp對 可以參考 Legendre symlol ^^"                       09/07/25
→ krull :我是想 by 1 -> (F*)2 -> F* -> {±1} -> 1 應該可以        09/07/25
→ george :Zn? 呵呵~???? ^^"""""                                   09/07/25
→ krull :1 -> (F*)^2 -> F* -> {±1} -> 1 , F = F_q                09/07/25
→ george :exact??? ^^a                                            09/07/25
→ krull :嗯嗯                                                     09/07/25
→ krull :像V大說的  F*裡一半一半  (F*)^2 index 2 subgp            09/07/25
→ k75715 :v大的hint 很大xd                                        09/07/25
→ george :問一下 F* -> {1 -1} 這 map 你怎送? 要 exact 喔 ^^a      09/07/26
→ george :V大的hint ok啊~ 蠻關鍵的...                             09/07/26
→ krull :x-> x^(q-1/2)                                            09/07/26
→ krull :x->x^((q-1)/2)                                           09/07/26
→ george :1 -1 ???? ^^a                                           09/07/26
→ krull :x^(q-1) = 1                                              09/07/26
→ VaTin :對                                                       09/07/26
→ george :k大你怎麼還沒完成你的証明 給他一個good ending啊 = =+    09/07/31
→ krull :[-1]*[-1] = [1], b^(-1)*a is a square (mod q)            09/08/01
→ krull :不是結束了嗎XD                                           09/08/01
→ george :也對啦~ 你要不要小蘭啊  = =+                            09/08/03
→ alfredo :他比較喜歡柯南                                         09/08/03
→ alfredo :步美會更好~~                                           09/08/03
→ krull :中央應該把george聘回來教我們代數的                       09/08/03
→ george :XD 我不行啦~ 而且我在草莓王國上班了耶 XD                09/08/05

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