/ / / / / /

上一篇 下一篇 同標題 發表文章 文章列表

作者  george (...) 站內  ALGEBRA
標題  [習題分享] 群論
時間  2009/07/21 Tue 23:20:58

 4.If G is a finite p-group , H is an nontrivial normal subgroup in G

   then H∩C(G) =/= {e}

    這題也是用 group action ^^"

    可以去感覺看看

                 G    x   G → G   (by conjugate)
                   action

    當 H <| G ,  G    x   H → H   (by conjugate)
                   action

    一般純粹看群裡的運算 它可能很亂

    感覺 action 就像一個動作

        "把黃G倒入裝有白G白H的瓶子 在限定conjugate的環境下

         裡面的元素動起來了 有些不動 到底是哪些東西讓它不動 Gx (xεG or H)

         有些規則的動了 orbit Οh = {gh |gεG} (任挑一個h跑遍所有g)

    所以說呢~ action 可以較細部規則的去刻劃一個群裡面作用情況


 Pf:

      Since H <| G, we can consider the action  G x H → H      (conjugate).
                                                g   h   ghg^(-1)
               disjoint
      Then H =    ∪   Οh  = fix part ∪   Οh
                 hεH          (G=Gh)    (會變部份 G≠Gh)

                                                            |G|
          |H| = |fix part| + Σ |Οh|     = |fix part| + Σ───
                              (會變部份)                    |Gh|

      Suppose not, H∩C(G)={e} => fix part = {e}

                                           |G|
                               => |H| - Σ─── = 1
                                           |Gh|
                                  ﹋﹋﹋﹋﹋﹋﹋(a)

                                           |G|
      But G is a p-group => p||H| & p|Σ─── => p|(a)式   (→←)
                                           |Gh|
                                                             #


--
發信站 [中央數學  織夢天堂 bbs.math.ncu.edu.tw]
□ Modify: 2009/07/21 Tue 23:22:51  61-216-13-57.dynamic.hinet.net 修改
→ george :ptt轉 ^^"                                               09/07/21
□ Modify: 2009/07/23 Thu 00:33:40  61-216-13-246.dynamic.hinet.net 修改

上一篇 下一篇 同標題 發表文章 文章列表