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作者  george (...) 站內  ALGEBRA
標題  [習題分享] 群論
時間  2009/07/21 Tue 23:19:19

1.If a normal subgroup N of order p is contained in a group G of order p^n

  then N is in the center of G

 Pf:

   Since N <| G , we can consider the group action  G x N → N      .
                                                    g   n   gng^(-1)

   The action can induce a homomorphism ψ: G → Aut(N)
                                            g     σg
                    -1
   where σg(n)= gng   for all n ε N.


      Claim: kerψ = C_G(N) where C_G(N):={ gεG | gn=ng for all nεN }

          pf:  Let g ε kerψ <=> σg = id_N

                              <=> gng^(-1) = n  for all n ε N

                              <=> gn = ng for all n ε N

                              <=> g ε C_G(N)
                                               □


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  •FROM [george 從 61-216-13-57.dynamic.hinet.net 發表]
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