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作者  k75715 (數功揚名 所向披靡) 站內  ALGEBRA
標題  [代數] Cyclic extension
時間  2009/05/06 Wed 19:12:28

其實這題是 Hungerford的習題  做完感覺還蠻奇妙的XD
有點好像還抓不清楚題目的輪廓  但是又不小心證出來的fu
題目如下:(Q 就是大家知道的那個有理數啦XD)
    ╴                                            ╴
Let Q  be a fixed algebraic closure of Q and v ε Q . Let E be a subfield of
╴
Q   maximal w.r.t the condition v not in E. Prove that every finite dimensionl
extension of E is cyclic.

我的作法是這樣  因為剛開始看到  感覺很無助  啥東西都沒給我XD
後來就......硬暴!  就真的假設F 是 E的finite extension
然後讓F_N 是F的normal closure  over E 這樣的話  F_N over E  就會是Galois了
然後因為  v 不在E 裡面  所以找的到σ ε Gal(F_N / E) , σ(v) != v
但是但是  去看看 <σ> 的 fixed field  會發現居然是 E 耶XD
很神奇的得到 F_N over E 是 cyclic extension  XD  然後問題就這樣解決了

不知道代數版的版眾們有沒有其他的證法  或是其他方向的想法 :-]
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今、手をつないでいるその人に出えたのは、

  キセキのような、かくりつです。

光の中に出ても、その手をはなすことのないように。
                                       〈野ブタ。をプロデュース〉

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發信站 [中央數學  織夢天堂 bbs.math.ncu.edu.tw]
  •FROM [k75715 從 114-45-55-249.dynamic.hinet.net 發表]
→ VaTin :先偷偷想想看E 應該長甚麼樣子?  天真的想的話 Q^bar- <v>   09/05/06
→ k75715 :可是我天真的想  感覺好像會有很多個不同的E?!           09/05/09

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