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作者  gawk (我是阿吉) 站內  ALGEBRA
標題  [代數]分享一題台大考古題
時間  2009/02/08 Sun 11:08:41

Find the smallest positive integer n s.t. n>30 and for any integer a, a^n-a is

divisible by 385(=5*7*11)

(96碩士招生考題)

這題我昨天又拿來做了

但我不確定我找的是不是最小的

┌──────────────────────────┐
│  Fact_1:                                           │
│                                                    │
│     a^p≡a mod p, if gcd(a,p)=1                    │
│                                                    │
│  Hence we have p|a^(p-1)-1, if gcd(a,p)=1          │
│                                                    │
│                                                    │
│  Observation_1:                                    │
│                                                    │
│    If gcd(a,p)=1 and p|a^n-a                       │
│                                                    │
│    then p|a^(n-1)-1                                │
└──────────────────────────┘

since we request that 385|a^n-a for any integer a

385|a*[a^(n-1)-1]

<=> 4|n-1, 6|n-1, 10|n-1

<=> 60|n-1

所以我覺得是最小的n是61



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發信站 [中央數學  織夢天堂 bbs.math.ncu.edu.tw]
  •FROM [gawk 從 16-31.phy.ncu.edu.tw 發表]
□ Modify: 2009/02/08 Sun 11:09:46  16-31.phy.ncu.edu.tw 修改

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