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作者  jk13d (紹鈞) 站內  P_jk13d
標題  求救:Cayley Theorem的証明 幫我看看哪裡寫錯ˊˋ
時間  2009/01/15 Thu 23:20:31



敘述:Every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group on G.

pf(有待高人指點錯誤):


  Let Φ: G -> S_x  where S_x is {all permutation of G}
          a -> L_a: G  -> G
                    x |-> a*x

        Check L_a is a permutation of G:

          1-1: L_a(x1)=L_a(x2) <==> a*x1=a*x2  <==> (a^-1)*a*x1=(a^-1)*a*x2

               <==> x1=x2.

          onto: For all y belongs to G. Let x=(a^-1)*y.

                Then L_a(x)=a*(a^-1)*y=e*y=y.

        不過我還是不知道為什麼1-1 and onto就會是他的permutation...

        Check Φ is a group homo:

           For all x belongs to X,

           Φ(a*b)(x)=(L_a*L_b)*x=L_a*(L_b*x)=Φ(a)*[Φ(b)*(x)]

                                   =[Φ(a)*Φ(b)]*(x)

        Check Φ is 1-1:

           Since x=a*x => a=e (L_a=e' => x=a*x for every x belongs to G)

           KerΦ={e} => Φ is 1-1

        Finally, G isomorphic to Image(Φ) and Image(Φ) is a subgroup of S_x.




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發信站 [中央數學  織夢天堂 bbs.math.ncu.edu.tw]
  •FROM [jk13d 從 87-208.dorm.ncu.edu.tw 發表]
□ Modify: 2009/01/16 Fri 01:04:19  87-208.dorm.ncu.edu.tw 修改
→ jk13d :越看越覺得跟上面那篇有很大的關聯...                      09/01/16
→ VaTin :1-1 onto 等於是全部元素做了重排...                       09/01/16
→ jk13d :Wow 一語點醒夢中人呀 謝謝V大                             09/01/16

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