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作者  gawk (傳說中危險的學長) 站內  ALGEBRA
標題  Re: [代拓]lifting problem
時間  2008/08/15 Fri 17:26:58

※ 引述《gawk (傳說中危險的學長)》之銘言:
> Show that the inclusion map i:|RP(2)→|RP(3) cannot be lifted to S^3 in the
> covering space π:S^3→|RP(3)
> 我沒什麼idea
> 總感覺就是要說不可能存在conti. map g:|RP(2)→S^3
> 就這步我想不通
> 還是我有另一個方向可以想呢??

Suppose there exists conti. g:|RP(2)→S^3 s.t. i=π。g

Now consider their homology group and homomorphisms


                            H_n(S^3)
                         ↗    │
                       ╱      │
                g_*  ╱        │ π_*
                   ╱          │
                 ╱            │
               ╱              │
             ╱                ↓
        H_n(|RP(2)) ──→ H_n(|RP(3))
                     i_*

NOTE we have i_* = π_*。g_*

For n=1

H_n(S^3)=0

H_n(|RP(2))=Z_2

H_n(|RP(3))=Z_2

since diagram commute

we have i_*(H_n(|RP(2)))=0

it contradicts that i_* is onto

Why is i_* onto

consider following exact seq

H_2(|RP(2))→H_2(|RP(3))→H_2(|RP(3),|RP(2))
                                   ∥
                                    0

--
發信站 [中央數學  織夢天堂 bbs.math.ncu.edu.tw]
  •FROM [gawk 從 61-224-143-121.dynamic.hinet.net 發表]
□ Modify: 2008/08/15 Fri 17:27:16  61-224-143-121.dynamic.hinet.net 修改
→ gawk :希望homology group跟exact seq沒搞錯...我已經想兩天了      08/08/15
→ VaTin :對阿這樣做                                               08/08/16
→ gawk :謝謝指教^^                                                08/08/16

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