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作者  mercy116 (mercy) 站內  97RA_I
標題  chapter 1. #17
時間  2009/01/04 Sun 19:32:19

962201028
972201009

符號介紹 "( " : 包含
         " Ν" : 自然數

17.

Let {f_n} be a sequence of measurable function on [0,1]

with |f_n(x)| < ∞ for a.e. x.

Show that there exists a sequence Cn of positive real numbers

such that
          f_n(x)
          ___  → 0 a.e. x
            Cn

pf:

for any n 屬於 Ν,|f_n(x)| < ∞

,we have there exists Cn > 0 s.t. |f_n(x)|≦ Cn / n a.e. x

i.e. |f_n(x) / Cn | ≦ 1/n a.e. x -----------------------(*)

Let En={x:|f_n(x) / Cn | > 1/n }

then m(En)=0 for all n by (*)
          ∞
,we obtain Σ m(En)=0
          n=1

          ∞
claim:E( ∩   ∪ En = {x:x屬於En for infinitely many n}
          k=1 n≧k

pf of claim:

Note that E={x:limsup |f_n(x) / Cn | > 0  }
               n→∞

Let x屬於E , then limsup |f_n(x) / Cn | > 1/m for some m屬於Ν
                  n→∞

,we have there exists {n_k}

with n_k ↗ ∞ s.t. |f_n_k(x) / Cn_k | > 1/m for all k

Choose K 屬於Ν large enough s.t. n_k ≧ m.

Then |f_n_k(x) / Cn_k | > 1/m ≧ 1 / n_k for all k≧K

, we obtain x屬於E     for all k≧K
                  n_k

Then by Borel-Cantelli lemma
                   ∞
,we have m(E) ≦ m(∩   ∪ En) = 0
                   k=1 n≧k

∴m(E)=0

Therefore ,  f_n(x)
             ___  → 0 a.e. x.
               Cn
                                 #


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