/ / / / / /

上一篇 下一篇 同標題 發表文章 文章列表

作者  fongya (......) 站內  97RA_I
標題  CH.2 Exercise 10
時間  2008/12/07 Sun 22:33:22


972201011

                                          k
10. Suppose f≧0,and let E k = { x:f(x)>2  } and
                          2

              k           k+1
    F_k = {x:2 <f(x) ≦ 2    }.

    If f is finite almost everywhere,then
                      ∞
                      ∪  F_k = {f(x)>0},
                     k=-∞
    and the sets F_k are disjoint.

    Prove that f is integrable if and only if


          ∞   k                              ∞   k
          Σ  2 m(F_k) < ∞ ,if and only if  Σ  2  m (E k ) < ∞.
         k=-∞                               k=-∞       2 

    Use this result to verify the following assertions. Let

               -a                               -b
          { |x|    if |x|≦1,              { |x|    if |x|>1,
    f(x) ={                    and  g(x) = {
          {  0     otherwise,              {  0     otherwise.

                             d
    Then f is integrable on R  if and only if a<d ;
                             d
    also g is integrable on R  if and only if b>d .


Proof.

      (1)
                                        ∞
          claim : f is integrable <=> Σ  2 m(F_k) < ∞
                                       k=-∞

          (=>)

              ∞>∫ d f(x)dx        = ∫        f(x)dx
                    R                   {f(x)>0}

                                        ∞
                =  ∫         f(x)dx =  Σ  ∫   f(x)dx
                      ∞               k=-∞  F_k
                      ∪  F_k
                     k=-∞

                   ∞   k
                ≧ Σ  2  m(F_k)
                  k=-∞


           (<=)
                      ∞   k            ∞    k+1
              ∞>2 ( Σ  2 m(F_k) ) =  Σ   2   m(F_k)
                     k=-∞

                    ∞
                ≧  Σ   ∫   f(x)dx = ∫       f(x)dx
                   k=-∞   F_k           ∞
                                         ∪  F_k
                                        k=-∞

                =  ∫         f(x)dx = ∫ d f(x)dx
                     {f(x)>0}           R


                    ∞                        ∞   k
           claim :  Σ  2 m(F_k) < ∞  <=> Σ  2  m (E k ) < ∞.
                   k=-∞                     k=-∞       2

                                      ∞
                   For all k ,  E k = ∪  F_j
                                 2    j=k

                                 ∞
                   => m( E k ) = Σ  m(F_j)
                          2      j=k

                       ∞   k                      k
                   ∵  Σ  2  m (E k ) < ∞ and  2  m (E k ) ≧ 0
                      k=-∞       2                      2

                                           ∞   k
                   ∴ all rearrangment of  Σ  2  m (E k )
                                          k=-∞       2

                      converges to the same sum .

                         ∞   k             ∞    k  ∞
                   Then  Σ  2  m (E k ) =  Σ   2 ( Σ  m(F_j) )
                        k=-∞       2      k=-∞     j=k

                          ∞     ∞   k
                       =  Σ  (  Σ  2 m(F_j) )
                         k=-∞  j=k

                          ∞      k   j
                       =  Σ  (  Σ  2 m(F_k) )
                         k=-∞  j=-∞

                          ∞          ∞   j
                       =  Σ   m(F_k) Σ  2
                         k=-∞       j=-∞

                            ∞   k
                       = 2  Σ  2 m(F_k)
                           k=-∞

                           ∞   k
                    Hence  Σ  2 m(F_k) < ∞
                          k=-∞

                                           ∞   k
                    Similarly,we may have  Σ  2 m(E k) < ∞
                                          k=-∞     2

      (2)
                                    d
         claim: f is integrable on R  <=> a < d


         (a) a≦0

             { 0<f(x)≦1 , if |x|≦1
             {
             { f(x) = 0   , otherwise


             => ∫   f(x)dx ≦ m( {|x|≦1} ) < ∞
                   d
                  R

         (b) a>0

             { f(x)≧1 , if |x|≦1
             {
             { f(x)=0  , otherwise

            For k<0 :
                                    k
                E k  = { x| f(x)> 2  } = { x:|x|≦1 }
                 2

                => m (E k) = m({x:|x|≦1}  )
                       2

            For k≧0 :
                                    k            -a    k
                E k  = { x| f(x)> 2  } = { x: |x| > 2  }
                 2
                                  -k/a
                     = {x: |x| < 2   }

                                 -k/a d       -k(a/d)
                => m (E k) = Cd( 2   )  = Cd( 2   )   , for some Cd>0
                       2
               -1   k          -1   k         ∞   k
            => Σ  2 m(E k) =  Σ  2 m(E k) + Σ  2 m(E k)
              k=-∞     2     k=-∞     2     k=0      2

                                               ∞   k     -k(a/d)
                            =  m({x:|x|≦1}) + Σ  2  Cd( 2       )
                                               k=0

                                                  ∞     k(-a/d)
                            =  m({x:|x|≦1}) + Cd Σ  ( 2       )
                                                  k=0

               ∞   k
        Hence  Σ  2 m(E k) < ∞ <=> 1-a/d<0 <=> 0 < a < d
              k=-∞     2


                                    d
         claim: g is integrable on R  <=> b > d


         (a) b≦0

             { g(x)≧1 , if |x|>1
             {
             { g(x)=0  , otherwise


             =>∫  g(x)dx ≧ m({x:|x|>1}) = ∞
                 d
                R

         (b)

            { 0<g(x)<1 , if |x|>1
            {
            { g(x) = 0   , otherwise

            For k≧0 :
                          k            k+1
                F_k = {x:2 < g(x) < 2    } = empty set

            For k<0 :
                          k            k+1
                F_k = {x:2 < g(x) ≦ 2    }

                          k     -b    k+1
                    = {x:2 < |x| ≦ 2     }

                         -(k+1)/b          -k/b
                    = {x:2       ≦ |x| < 2    }

                             -k/b   -(k+1)/b
             => m(F_k) = Cd (2    - 2        )

                               -d/b    -kd/b
                       = Cd (1-2   ) (2      )

                           -k(d/b)
                       = B 2

               ∞   k          -1   k         ∞   k
            => Σ  2 m(F_k) =  Σ  2 m(F_k) + Σ  2 m(F_k)
              k=-∞           k=-∞           k=0

                                 -1   k(1-d/b)
                            = B  Σ  2         + 0
                                k=-∞
                ∞   k
         Hence  Σ  2 m(F_k) < ∞ <=> 1-d/b>0 <=> b > d
               k=-∞



--
發信站 [中央數學  織夢天堂 bbs.math.ncu.edu.tw]
  •FROM [fongya 從 114-43-64-129.dynamic.hinet.net 發表]


□ Modify: 2008/12/07 Sun 22:37:58  114-43-64-129.dynamic.hinet.net 修改

上一篇 下一篇 同標題 發表文章 文章列表