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作者  mercy116 (mercy) 站內  97RA_I
標題  applications of M.C.T
時間  2008/11/14 Fri 15:35:52

The Borel-Cantelli lemma
                                                          ∞
Suppose {En} is a sequence of measurable sets satisfying  Σ m(En) < ∞
                                                          n=1
Let F={x:x belongs to infinitely many sets En}

Then F has measure zero  i.e. m(F)=0

**pf:

For each n , let a_n(x)=χ  (x)    (i.e. a_n(x)=0 or a_n(x)=1)
                          En

then we note that x屬於F
               ∞
if and only if Σ a_n(x)=∞ , and ∫a_n = m(En)
               n=1
   ∞
by Σ m(En) < ∞ and monotone convergent theorem ,
   n=1
          ∞       ∞
we have ∫Σ a_n = Σ m(En) < ∞
          n=1      n=1

∵a_n(x) ≧ 0

∴we obtain m(F)=0
           ^^^^^^^^ #

.....................................................................
               ∞  ∞
之前我們是用 F=∩  ∪ En 去計算出m(F)=0
               k=1 n=k

現在也可以用monotone convergent theorem 來得知m(F)=0

.....................................................................

972201009


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發信站 [中央數學  織夢天堂 bbs.math.ncu.edu.tw]
  •FROM [mercy116 從 131-229.dorm.ncu.edu.tw 發表]
□ Modify: 2008/11/14 Fri 15:53:25  131-229.dorm.ncu.edu.tw 修改

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