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作者  mercy116 (mercy) 站內  97RA_I
標題  期中考第八題的延伸
時間  2008/11/14 Fri 15:15:56

符號介紹 "( " : 包含
         " Ν" : 自然數

(The Borel-Cantelli lemma)
         ∞
Suppose {E_k} is a countable family of
         k=1
                                 ∞
measurable subsets of R and that Σ m(E_k) < ∞
                                 k=1
               d
Let F={x 屬於 R :x屬於E_k for infinitely many k}.
       ∞   ∞
     = ∩   ∪  En
       k=1  n=k
                      ∞  ∞
**Question:what is  E=∪  ∩ En ?
                      k=1 n=k
**Ans:
                    ∞
if x屬於E,then x屬於∩ En  for some k,
                    n=k
we have x屬於En for all n≧k for some k

∴E={x:x屬於En for all n≧Nx for some Nx} (Nx屬於Ν,此Nx跟x有關)

   ={x:x belongs to all E_k eventually}

   ={x:x does not belong to finitely many E_k only}

**
If x屬於E,

then x屬於En for all n≧Nx for some Nx,

we have x belongs ti infinitely many En,

hence x屬於F

Therefore  E﹙F
          ^^^^^^^ #

972201009

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發信站 [中央數學  織夢天堂 bbs.math.ncu.edu.tw]
  •FROM [mercy116 從 131-229.dorm.ncu.edu.tw 發表]
□ Modify: 2008/11/14 Fri 15:53:37  131-229.dorm.ncu.edu.tw 修改

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