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作者  henry1126 (蕭景文) 站內  97RA_I
標題  proposition 1.1 (i)
時間  2008/11/14 Fri 13:37:40

proposition 1.1 (i) The integral of simple functions defined above satisfies
Independence of the representation. If    N
                                       ψ=Σa_kχ_E_k is any representation
                                          k=1
of ψ, then ∫ψ=  N
                  Σa_km(E_k)
                  K=1

Pf:  (I) E_k's are disjoint:
for all a≠0 屬於       N
                   {a_k}   ,define E_a'= ∪E_k
                       k=1             a_k=a

=> E_a's are disjoint: and m(E_a')=Σm(E_k) then
                                 a_k=a

       ψ= Σaχ_E_a'                 the canonical form of ψ
         a's are distinct & non-zero
                                                   N
=>∫ψ=Σam(E_a')                   =Σa(Σm(E_k))=Σa_km(E_k)
       a's are distinct & non-zero       a_k=a     k=1        #

(II)General case:
    By Exercise 1(p89),we can find E_1* E_2* ....E_n*  s.t.E_i*'s are disjoint
  N     n
 ∪E_k=∪E_j*  and E_k=∪E_j*   1≦k≦N
 k=1   j=1             E_j*cE_k

Now for all 1≦j≦n, let a_j*=Σa_k
                              E_j*cE_k
              n
     then ψ=Σa_j*χ_E_j*     (may not be the canonical form of ψ)
             j=1               ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
                                 需要修正的部份
(by I)    n
  =>∫ψ=Σa_j*m(E_j*)
         j=1
          n
        =Σ( Σa_k)m(E_j*)
         j=1 E_j*cE_k
          N
        =Σa_km(E_k)
         k=1         #

972201001

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發信站 [中央數學  織夢天堂 bbs.math.ncu.edu.tw]
  •FROM [henry1126 從 5-220.dorm.ncu.edu.tw 發表]

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